O fantástico número e: "limites notáveis"

   Actualmente, em Portugal, no ensino secundário, define-se e como sendo o limite:

A existência deste limite, não é analíticamente demonstrada a não ser no ensino superior, tipicamente recorrendo ao facto de a sucessão (1+1/n)^n ser monótona (crescente) e majorada (logo, limitada).

Uma consequência desta definição é o limite

Que por sua vez, (graças à definição de limite segundo Heine) leva-nos ao limite:

Este limite, conjuntamente com a continuidade do logaritmo base e pode ser utilizado, por exemplo para calcular o limite:

e, por sua vez, este último limite pode também ser utilizado para deduzir o valor de

[o primeiro passo neste último limite foi a substituição y=e^x-1]

Com simples manipulações conseguem-se demonstrar os outros "limites notáveis."
Ou seja, os "limites notáveis" associados a e são uma simples consequência da sua definição.
A importância deste último limite em particular, está no facto de ser ele o responsável pelas fórmulas de derivação das exponenciais, e também dos logaritmos.

Este post é algo que deveria ser do conhecimento geral de todo o aluno que termina o actual secundário, e que afasta a "necessidade" de calculadoras na justificação de "limites notáveis"...

Exercício: mostrar, recorrendo à definição e apenas a limites indicados nesta página que a derivada do logaritmo base e no ponto 1 é 1.

“Before you diagnose yourself with depression or low self-esteem, first make sure that you are not, in fact, surrounded by assholes.” ~William Gibson

Tenho de confessar-vos uma coisa: Livrar-se dos idiotas funciona mesmo.

Calcular limites recorrendo ao integral de Riemann (I)

A fórmula do somatório de quadrados perfeitos do post anterior, não surgiu neste blog por mero acaso. Ultimamente tenho andado a passar os olhos por este livro de exercícios:


(Custou-me 8€ numa das feiras do livro do metro de Lisboa, enquanto lá estive nas minhas tentativas frustradas de tirar um mestrado em Equações Diferenciais e Análise Numérica).

No exercício 178, é pedido para calcular o limite:
.
Ora, conhecendo a fórmula:

Este limite calcula-se muito rapidamente.
Como eu não me lembrava da formula, calculei este limite de outra forma (a forma que vou agora apresentar), e depois, seguindo o raciocínio do post anterior, deduzi a fórmula da soma dos primeiros n quadrados e voltei a calcular o limite.

O truque que eu utilizei para não recorrer à fórmula da soma de quadrados foi simples: Notei que este limite podia ser convertido num limite da definição do integral de Riemann (ou seja, no limite de uma "soma de Riemann"), no intervalo [0,1], com uma partição de n subintervalos de igual comprimento 1/n:



[Os leitores podem confirmar a minha afirmação, recorrendo à fórmula da definição de integral de Riemann]

Uma boa estratégia para detectar estas "Somas de Riemann" é isolar os k/n e tentar obter uma coisa do tipo

Σ f(k/n)×(1/n)

com k a variar entre 0 e n-1. (mas naturalmente não é a única forma...)

Até uma próxima oportunidade.

PS: obviamente, a intenção do livro do Demidovitch e companhia é que se faça isto sem recorrer a integrais porque só aparecem mais à frente, ou seja, de preferencia usando a fórmula da soma de quadrados perfeitos.

A soma dos primeiros n quadrados perfeitos, uma outra dedução

Já muita gente se deve ter cruzado com esta fórmula alguma vez na vida, e típicamente deve tê-la demonstrada facilmente recorrendo ao método de indução matemática.

No entanto, dado o seu aspecto, será pouco provável que esta fórmula tenha sido deduzida pela primeira vez recorrendo ao método de indução.

Como isto é Matemática, dificilmente há demonstrações "únicas".
Vou propor outra forma simples de demonstrar esta fórmula e outras do mesmo tipo (somas de cubos, de potencias quartas..etc)

Basta tomar:


E sabendo que é a única solução da equação com diferenças:

Basta resolvê-la.

(Saber resolver equações com diferenças é algo que devia fazer parte da cultura de todo e qualquer matemático...)

Garanto que obtêm a mesma fórmula.