![CarlosPaulices no século XXI [até 2019]](https://2.bp.blogspot.com/-ZZaGUx4zRuY/VforUatAmuI/AAAAAAAAEEY/LcFBbgQUPXk/s1600-r/letras.png)
Actualmente, em Portugal, no ensino secundário, define-se e como sendo o limite:
A existência deste limite, não é analíticamente demonstrada a não ser no ensino superior, tipicamente recorrendo ao facto de a sucessão (1+1/n)^n ser monótona (crescente) e majorada (logo, limitada).
Que por sua vez, (graças à definição de limite segundo Heine) leva-nos ao limite:
[o primeiro passo neste último limite foi a substituição y=ex-1]
Com simples manipulações conseguem-se demonstrar os outros "limites notáveis."
Ou seja, os "limites notáveis" associados a e são uma simples consequência da sua definição.
A importância deste último limite em particular, está no facto de ser ele o responsável pelas fórmulas de derivação das exponenciais, e também dos logaritmos.
Este post é algo que deveria ser do conhecimento geral de todo o aluno que termina o actual secundário, e que afasta a "necessidade" de calculadoras na justificação de "limites notáveis"...
Exercício: mostrar, recorrendo à definição e apenas a limites indicados nesta página que a derivada do logaritmo base e no ponto 1 é 1.
A existência deste limite, não é analíticamente demonstrada a não ser no ensino superior, tipicamente recorrendo ao facto de a sucessão (1+1/n)^n ser monótona (crescente) e majorada (logo, limitada).
Uma consequência desta definição é o limite
Este limite, conjuntamente com a continuidade do logaritmo base e pode ser utilizado, por exemplo para calcular o limite:
e, por sua vez, este último limite pode também ser utilizado para deduzir o valor de
Ou seja, os "limites notáveis" associados a e são uma simples consequência da sua definição.
A importância deste último limite em particular, está no facto de ser ele o responsável pelas fórmulas de derivação das exponenciais, e também dos logaritmos.
Este post é algo que deveria ser do conhecimento geral de todo o aluno que termina o actual secundário, e que afasta a "necessidade" de calculadoras na justificação de "limites notáveis"...
Exercício: mostrar, recorrendo à definição e apenas a limites indicados nesta página que a derivada do logaritmo base e no ponto 1 é 1.
2 comentários:
Proponho a seguinte demonstração. Seja f(x) a função exponencial, isto é, f(x)=e^x. A derivada de f(x) no ponto x=0, designada por f′(0), é, por definição de derivada de uma função no ponto 0 o limite f′(0)=lim_(h→0)(e^h-e^0)/h. Aplicando o limite que deduziu acima, lim_(x→0)(e^x-1)/x=1, conclui-se que f′(0)=1.
Boa noite Américo.
Com um pequeno rearranjo até demonstra-se algo mais geral: demonstra-se que f'(x)=e^x=f(x)
f´(x)=lim_{h→0} [e^(x+h)-e^x]/h
=e^x lim_{h→0} [e^(h)-1]/h
=e^x *1
=e^x
pois lim_{h→0} [e^(h)-1]/h, é o limite acima :)
E a derivada do logaritmo natural também se calcula...
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