Status: Implentando Objectos matemáticos em JavaScript

Toda a gente sabe que é possível cortar-se com papel.
Eu ontem fiz uma descoberta.. também é possível cortar-se com uma régua!
Tenho uma ferida na minha mão direita, feita com uma régua e que ainda tenho alguma dificuldade em compreender.

Bom. Eu tencionava ter uma blog-app que calculasse (numericamente) os zeros de um polinómio mas parece que não vou conseguir fazê-lo a tempo.
Inicialmente estava a pensar em recorrer a alguns ficheiros utilizados na minha cpcalculadoraJS2.0 , mas deparei-me com um bug incomodo.
Seja como for, decidi aproveitar o código para criar novas classes em Javascript que poderei utilizar em próximas blog-apps matemáticas, e também em possíveis próximas versões da cpcacluladoraJS

• Numeros racionais (isto é, permitir fracções...)
• Polinómios de coeficientes "reais" (notar que nas interpolação de Lagrange e Hermite, na cpcalculadoraJS 2.0 já tenho parte do trabalho feito, embora com alguns erros)
• Numeros complezos (para ser honesto, também estou a considerar quaterniões)
• Matrizes
• Permutações/grupo Simétrico

E finalmente uma biblioteca JS com várias funções típicas de Teoria dos números que podem ser úteis ...
Em particular para a aplicação que calcula os zeros de polinómios vou precisar das classes Polinómio,  números complexos, e ...da biblioteca de funções de teoria dos numeros, que me será útil para determinar o numero de divisores de um número. e depois disso dar-me a lista de todos os divisores do número.

Esta imagem nostra-vos a definição da minha classe polinómio para usar aqui no blog.
A versão para a próxima CPcalculadoraJS será um bocadinho mais sofisticada.
A actual já é um bocadinho mais sofistcada, mas tem alguns bugs enbaraçosos...
(Aquele "with(Math)", na verdade não está a fazer nada e será removido...).
Hum... penso que também devia implementar o polinómio recíproco....

Será que ainda consigo ter isto pronto até amanhã?

Houve fogo no paraíso

Ao longo do texto de hoje vou utilizar letras maiúsculas para ocultar nomes e áreas da Matemática.
Antes do nascimento das redes sociais... quando a internet ainda dava os primeiros passos depois do boom de meados dos anos 90...
"O professor X é um mero especialista na teoria Y" - Disse explicitamente uma vez, o professor Z numa aula de W.
"O professor X de A tinha inclusivamente teoremas conhecidos pelo nome dele" - Disse um aluno.
"Professor X? Nunca ouvi falar." - Respondeu o professor L.
Assisti a várias variantes deste tipo de atitudes durante toda a minha vida académica.
O "minimizar" os outros é algo ridículo, mas que se vê muito no meio académico. Se por vezes há alguma razão nos comentários, noutras há muita maldade ou muita ignorância.
No fundo, um problema de egos.
Outra atitude frequente era a de valorizar apenas a sua área e desvalorizar todas as outras.
Muitas vezes dava-me arrepios ver o ninho de cobras onde estava metido.

Bem, deste tipo de professores, alguns tratam os alunos da mesma forma: como burros ignorantes que nada sabem.
Nos meus (péssimos) tempos na fcul por exemplo cheguei a ter umas "peças" interessantes. Aquele que nunca vou esquecer foi um que sempre que eu punha uma dúvida me respondia "você deu isso na cadeira X".
Bem... falo da fcul porque supostamente quando fui aceite talharam o programa de acordo com os dados que lhes enviei.
Na prática, ninguém olhou para aquilo. Penso que precisavam de alunos e portanto aldrabaram os candidatos.
No meu caso em particular apresentaram-me vários programas que não tinham absolutamente nada a ver com o que me deram...
Portanto obviamente chegou a acontecer a tal "cadeira X"..ser uma cadeira que eu nunca tinha tido, ou em alguns casos que afinal na cadeira X nunca ninguém tinha tocado no tal assunto (vá-se lá saber se foi falta do professor de X ou apenas alguma ilusão ou mesmo má vontade do outro...)...
Mas tendo em conta que éramos tão poucos alunos, custava muito terem feito um trabalho melhor?
Ora, estavam-se nas tintas para os alunos.
Para ter respostas destas, ao fim de algum tempo simplesmente deixei de as colocar...passei a pesquisar em todos os meios que tinha disponíveis e a fazer perguntas a contactos meus que não recebiam dinheiro nenhum do que eu pagava para propinas....
É desmotivante ter um professor que invariavelmente goza connosco, em vez de ser um parceiro no progresso académico.
(O caso que me marcou mais ainda foi um em que a tal cadeira X não funcionava há mais de 5 anos naquela faculdade... e que hoje sei que a minha dúvida teria sido rapidamente tirada se o professor tivesse alguma decência visto que nem era uma cadeira difícil)
Alguns professores querem que os alunos não tenham vida e só se dediquem àquilo...
Bem, no meu caso eu "não tinha vida"... era mesmo só aquilo, a minha família e... a minha saúde.
(E estando a viver em Lisboa, os invariáveis problemas que ocorrem em quartos alugados com senhorios que só pensam no lucro ao final do mês.)
Não gosto de criar atritos com quem vai ter de me avaliar, e durante anos engoli muitos sapos até ao dia em que tive de dizer chega! A situação estava insuportável e já nem a minha saúde era compatível com estes stresses
Abandonei um sonho... não qualquer sonho... O sonho.
Não é algo que eu vá esquecer facilmente. Vou mantendo a mente ocupada... já perdi imenso tempo a pensar nisto. Acabou... está acabado.

O que me resta desse sonho são algumas horas por dia, em que com livros, papel e lápis passeio como um fantasma por mundos onde um dia caminhei de corpo e alma.
Quando publico coisas tiradas das minha memórias, é apenas na intenção de que possam vir a ser úteis a alguém. Quando dou detalhes sobre o quando e o como...bem... pelo menos eu gosto de contextos.

Portanto... regressar ao ensino superior?
"I hardly think I'll be back..."
O único e duradouro problema é: "E agora? O que é que sobra para mim?"

Ainda sobre a proposta de programa de Matemática para o ensino básico...

Concordo que é frustrante (e ridículo) haverem mudanças de programas "sempre" que muda o governo.
Mas desta vez, vejo com muita satisfação a proposta que foi apresentada em Portugal.
Não só por propor um uso mais racional das calculadoras como também por vários tópicos apresentados no programa. Ainda sobre o uso de calculadoras, a sua utilização excessiva está a ser responsável por um desleixo sucessivo nas propriedades algébricas das "operações básicas"...

Apesar de várias vozes contra, principalmente os defensores do programa a ser substituído (e em muitos aspectos ridículo) vêm com argumentos que são muito discutíveis e pouco pertinentes para um assunto realmente sério, eu acho que aquele programa vai no bom caminho.
Na verdade, o programa cessante promove de certa forma a cultura do facilitismo como forma de motivação.
Tenho alguma curiosidade sobre o que se passa ao mesmo nível em Angola e no Brasil. Mas ainda não me dei ao trabalho de investigar.

A equipa que elaborou o programa aceita contribuições e propostas até ao dia 31 de Maio (depois de amanhã), mas até a sociedade Portuguesa de matemática já deu uma opinião favorável e em muitos aspectos coincidente com a minha.
Eu não vou desenvolver o porquê da minha posição aqui no blog, prefiro deixar as pessoas tomar a sua posição racionalmente, sem as obrigar a ler opiniões que podem ser consideradas tendenciosas e que podem  interferir nesse processo de raciocínio (mas sempre podem ler o parecer da SPM que não é muito diferente do meu.), além do mais.. estou cansado e tenho mesmo de ir dormir. :)
Esperemos que este novo programa se mantenha e só seja substituído por um melhor (e de preferência, diferente do anterior).
E já agora, peço que não seja dada oportunidade aos autores do anterior de voltar a poder tocar sequer em futuros programas por corrermos o risco de voltar tudo ao mesmo.

Google Chrome Versus (as minhas) Blog-Apps

Hoje de manhã deparei-me com um estranho cenário:
As "Blog-Apps" deste blog não estavam a funcionar!
"Mas que raios? Isto sempre funcionou! Fui eu que as escrevi"-Pensei
Abri o blog noutro browser (Mozilla Firefox) e estava tudo a funcionar como devia.
Abri a "Consola JavaScript" no Google Chrome (onde inicialmente ocorreu o erro) e vi o que se passava.
Devem ter havido algumas alterações por alegados motivos de segurança lá pelos lados do google.
Lá perdi meia hora a reescrever partes dos ficheiros JavaScript onde tenho o código, e ainda de páginas aqui do blog para que tudo voltasse a correr.
Infelizmente, não era daquelas que bastava alterar uma linha.. teve de ser mesmo uma modificação em vários sítios,
E eu a pensar que isto só acontecia no tempo do Internet Explorer.

O que se passa, não sei se já perceberam,  é que agora vivemos na ditadura da informática. 

Tenham um bom dia.

De uma equação diferencial até à relação de Euler.

A minha relação com os números complexos foi, inicialmente, muito auto-didacta.
Hoje vou mostrar-vos como percebi como se deveria definir a exponencial complexa, cerca de um ano antes de ter tido análise complexa.
O facto não foi muito surpreendente pois já tinha tropeçado com a fórmula antes em algumas leituras. Em particular, a fórmula

Apareceu-me algumas vezes, (ainda antes de ter visto a fórmula com funções trigonométricas) e confundia-me pelo facto de e^π nem ser inteiro...
Consideremos a equação diferencial

A solução desta equação diferencial eu já a conhecia de outras aventuras, e penso que qualquer um com os conhecimentos mínimos de cálculo diferencial/integral consegue deduzir a fórmula da solução sem grande esforço.
Eu vou apresentar aqui uma dedução, mas o leitor mais apressado pode saltá-la.

A função cis, complexa, de variável real, define-se da seguinte forma

onde i é a unidade imaginária.
Ao derivar esta função observa-se que:

Ou seja

Esta relação mostra que a função cis satisfaz a equação diferencial do início deste post, com k = i
Se admitirmos que aquela solução é válida para valores de k complexos, como cis0 = 1 então:

ou seja

Esta última relação é uma das relações responsáveis por se definir a exponencial complexa como se define habitualmente (a menos que se defina pela série de MacLaurin).
Em partitcular, esta relação dá-nos:

Cenas dos próximos capítulos.

Para quem acompanha os meus posts matemáticos (neste blog só devo postar problemas de "Matemática geral clássica e por vezes de. aplicações")
Em breve devo transportar uma versão adaptada dos posts que pus aqui no blog sobre a fórmula de Cardano-Tartaglia para um pdf na minha skydrive, e deixo o link no meu site pessoal.
Entretanto estou a trabalhar em algumas coisas e a ler outras sobre as quais não me vou pronunciar aqui neste blog.

Ainda estou a pensar na melhor forma de implementar um "resolvedor numérico de equações polinomiais" aqui no blog, mas deve estar pronto para a semana.

Para os outros, bem...  eu devo publicar mais alguns disparates.

Bom fim de semana

Finalmente resolveram o problema da conjectura de Goldbach?

http://www.dn.pt/inicio/ciencia/interior.aspx?content_id=3237693

Eu fico sempre céptico quando vejo 1º a notícia na imprensa e não no meio matemático...
Enfim!
Será que se eu resolver um problema destes, que anda a fazer frente aos matemáticos há anos resolvo os meus problemas financeiros?

Penso que até lá ainda morro à fome...

Sobrevivendo

«A vida é muito engraçada.
Há 15 anos quando decidi trabalhar em Matemática, o meu quadro actual era impensável.

"Do you want to tell God a joke? Tell him about your plans"

Edward James Olmos

Deus deve ter dado umas valentes gargalhadas quando viu os meus.»
Isto está no post do dia 5 de Maio de 2010, o post mais antigo do arquivo deste blog.
Bem.. eu podia dizer a mesma coisa hoje, mas corrigindo o 15 para 18.

Com a crise e ainda por cima nesta zona, a procura por explicações é bem baixa.
Por outro lado, não é muito motivante dar explicações a quem está espera de resultados sem trabalho.
Parece-me ser uma mentalidade actual.
Pessoas que têm falta de bases, mas não estão interessadas em esforçar-se, apenas em facilidades.

Enfim...

Por mais que eu goste de Matemática, não volto a dar um tostão a uma instituição de ensino superior.

Já gastei imenso dinheiro e imenso tempo com isso e fui sempre sendo atrasado por pessoas que parece não viverem no mesmo mundo que eu..

Não me venham com a treta de "o que não faltam são empregos para matemáticos" porque já percebi que muita gente tem uma definição diferente de Matemática (e para não ajudar há muitas "Matemática"s, para remover a ambiguidade, por mim, eu proibia o nome "Matemática" num curso.)

Já muita gente tentou me por a fazer contabilidade.
Problema: Eu não sou contabilista, não gosto da área e pior ainda, não tenho formação específica na área.
Pode ser fácil ou difíci, não é "estar fora da minha zona de conforto": É não faz parte das minhas competências.
Seja como for, dada a crise e a situação em que vivemos, não estou interessando minimamente em tratar profissionalmente de assuntos relacionados com dinheiro, até porque, como já disse, não faz parte das minhas competências, e embora, como toda a gente neste mundo capitalista eu precise de dinheiro para viver, eu não gosto dele.
Já agora, convém dizer que pela internet, através de sites de emprego, já me apareceram propostas que têm todo o aspecto de esquemas de lavagem de dinheiro.

Enfim, lá vou eu dando explicações a quem não gosta de Matemática, não quer se esforçar... ou simplesmente não presta atenção nas aulas.
(Mas atenção: não posso culpar todos os casos que me chegam por isso...em alguns a culpa vem directamente de um ou outro professor... Há casos para todos os gostos)

Eu fui capaz de escrever uma simulação computacional com o movimento de planetas (como se isso fosse algo.. eu já fiz imenso!).
"Servi" para dar aulas no superior mas "não sirvo" para dar aulas no secundário.
Sou capaz de tratar matematicamente (e até resolver) muitos problemas.
"Falo fluentemente" muitas áreas da Matemática. mas, fui hostilizado pelo sistema, e para bem da minha saúde física e económica, fui obrigado a "dar um pontapé" no sistema. (mas a minha saúde económica foi-se à mesma... sobra a outra)
Continua a não haver um emprego para mim.
Alguém me arranja uma cunha nem que seja a lavar pratos à noite?
Só até ter o suficiente para emigrar para outro planeta.
Deixem-me é as manhãs e as tardes livres para eu poder dar explicações aos poucos que me procuram.
Eu tenho mesmo de tratar daquele site!

Até à próxima.

O curioso deste poster é que os 3 personagens são todos o mesmo: Doctor Who.

É o efeito de ser um senhor do tempo (timelord).

Só para Novembro na BBC, mas sabe-se lá quando (e se) veremos isso num país que fale português.

Em que dia da semana...?

Ao folhear o livro "Introdução à Álgebra" de Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou encontrei o seguinte problema:

2.8.14 Em que dia da semana foi 15 de Março de 1800?

Obviamente não o vou resolver nem dar a solução aqui.
Deixo como exercício para o leitor interessado (e preferencialmente que conheça a relação de congruência).

Eu tive durante anos uma página no meu site que dava o calendário gregoriano de "qualquer ano". -Foi removido quando actualizei para a versão 3.0 do meu site, mas posso trazê-lo para aqui como blog-app.
Na prática resolvi o problema no caso geral, e depois simplesmente implementei a minha solução, muito antes sequer da publicação do livro... (aliás, tenho o mesmo programa implementado numa calculadora).

Depois disto não me venham dizer que a Álgebra não tem aplicações práticas.
 (Ok, pode haver quem considere uma aplicação da Teoria dos Números e eu também aceito...)

Confesso que gosto deste livro de Álgebra como livro introdutório e que o prefiro a outros que andam por aí por ser um livro realmente didáctico e acessível.

Não vou dar a solução, mas vou converter o calendário que eu tinha no meu site numa blog-App e trazê-lo para este blog ainda durante esta semana.

Só por curiosidade, o leitor sabe em que dia da semana nasceu?

Até à próxima.

---

Actualização(23/05/2013):
A Blog-app calendário já está instalada.
Portanto, se confiar 1º nos meus cálculos e 2º nos meus dotes de programador, pode ir lá ver em que dia foi o 15 de Março de 1800. Mas tente chegar ao resultado, só com cálculos .

A Lua do doctor Who... ...do ponto de vista físico-matemático.

Há alguns anos, enquanto estava entretido com o problema restrito dos 3 corpos, acabei por escrever em c++ (e se a memória não me falha, alguns meses mais tarde também escrevi um em Scilab) um simulador para o problema geral dos 3 corpos.
No "problema restrito" um dos corpos tem massa desprezável quando comparada com os outros dois corpos e por isso as equações são um pouco mais simples.
Mas, um pouco pelas minhas veias matemáticas, gosto sempre de ver as coisas de um ponto de vista um pouco mais geral, por isso escrevi o dos 3 corpos, e sei como escrever um para N corpos.

O problema dos 3 corpos, em termos leigos, é o problema de descrever as trajectórias de 3 corpos apenas sujeitos às forças das gravidades entre eles, como por exemplo,  o Sol e (apenas) dois planetas.

Para além de escrever o simulador, resolvi também o problema dos dois corpos porque me ajudou a conceber algumas simulações como as que podem ver no meu canal no youtube.
(Se passarem pelo meu site pessoal devo ter lá um link para um pdf com a minha resolução do problema dos 2 corpos da altura... por falar nisso, acho que um dia destes tenho de escrever um pdf com outra abordagem ao problema...)

Tendo "fabricado" as órbitas dois corpos (tendo a solução do problema dos 2 corpos, é algo fácil de fazer), eu adicionava um terceiro de massa desprezável para ver como se comportava.
(E também adicionei alguns de massa não desprezável para testar umas ideias minhas).

A questão da Lua tal como foi apresentada no Doctor Who (ver post de ontem)  pode não ser assim tão disparatada do ponto de vista fisico-matemático!

 Estamos perante um problema de 3 corpos:

A Terra gira em torno do Sol e chega um terceiro corpo (a Lua) que tem massa desprezável relativamente ao Sol, mas não assim tão desprezável relativamente à Terra.

Como será que viria a Lua para "ser agarrada" pela nossa Terra?
Que trajectória teria antes?

Uma das simulações que fiz há 5 anos, foi com o sistema Sol-Júpiter-Asteróide, onde o Asteróide, "por motivos CarlosPaulíticos" saía da sua órbita algures entre Marte e Júpiter.

Vi asteróides despenharem-se em Júpiter, outros a serem projectados para fora do sistema solar e outros que passavam a orbitar Júpiter.

Bem... a Terra tem menos massa que Júpiter. A Lua pode ter mais ou menos massa que um asteróide.

Será que algum leitor consegue apresentar possíveis órbitas da Terra e da Lua antes da lua "ser apanhada" pela Terra? (Eu ainda não tentei sequer...)

Observação: Estou a propor algo baseado sobre uma hipótese saída da ficção e não sobre uma teoria baseada apenas em factos reais... mas se possível, usar dados reais no problema: (massas do Sol, da Terra e da Lua, e distancias médias entre a Terra e o Sol, e entre a Terra e a Lua,e de preferência a lei da gravitação universal de Sir Isaac Newton)

Até à próxima

A lua do Doctor Who

Embora seja uma personagem de TV e já ande por aí desde 1963, eu só conheci o Doctor Who nos anos 90, também em livro e também pelo serviço de bibliotecas itinerantes da Fundação Callouste Gulbenkian.


Gostei do conceito de um homem que viaja por todo o espaço-tempo numa cabine telefónica azul que é "maior por dentro" do que por fora.

Num dos primeiros livros que li, contavam que há milhões de anos havia uma civilização formada por uma espécie inteligente de répteis sobre o nosso planeta, os Silurian.

Vendo um gigantesco meteoro a aproximar-se, alguns decidiram hibernar em cavernas nas profundezas da Terra até depois do cataclismo. Outros fugiram para o espaço e "nunca" voltaram.

Bem... O "meteoro"  não caíu.
Começou a orbitar a Terra e tornou-se a nossa Lua.

Os efeitos gravitacionais da lua fizeram com que as câmaras de hibernação nunca tivessem desligado e os Silurian continuaram a hibernar até aos anos 70,altura em que alguns testes nucleares fizeram os silurian "acordar"...

Não conto o resto da história. Se encontrarem livros ou mesmo episódios antigos do Doctor Who ("Doutor Quem")  por aí podem ver.
 ["Doctor Who e os Silurian" penso que a história é dos anos 70]
Os efeitos especiais e as máscaras na TV podem até parecer ridículos pelos standards de hoje em dia, mas isso não rouba a ninguém a magia de uma boa história.
 Por isso, por vezes, é preferível ler a versão em livro, do que ver uma versão cinema ou TV...

Uma Sillurian, na incarnação actual do Doctor Who.

Eu poderia ter feito mais algumas observações sobre a fórmula de Tartaglia.

Nomeadamente esta, que pode ser útil: a soma das três soluções da equação x³+ px+q=0 dá zero.
É mais um resultado de fácil dedução e que nem requer que se conheça qualquer fórmula resolvente para o demonstrar...
Ela é útil pelo simples facto de nos dar a informação de que se a soma das raizes der outra coisa, então, há um erro em algum lado.

Em breve eu vou escrever uma blog-app que dê valores aproximados dos N zeros de uma equação polinomial de grau N, recorrendo a métodos numéricos.

Estive também a considerar a hipótese de escrever uma que aplique a fórmula de Tartaglia passo por passo. Só que como eu descrevi a fórmula e métodos de obter todas as raízes, prefiro que as pessoas tentem resolver as equações sem recorrer  à tecnologia, e portanto, aqui neste blog, por agora a ideia fica em stand-by.

Mas chega de equações polinomiais por uns tempos.

Bom resto de fim de semana e até à próxima.

Equações de 3º Grau:A fórmula de Tartaglia Parte 3 (última parte): -O discriminante. -Resolução de uma equação polinomial de 3º grau completa

Até agora apresentei a dedução e alguns exemplos de aplicação da fórmula de Tartagia (ou Cardano-Tartaglia se preferir).

Hoje, para finalizar os posts sobre a fórmula de Tartaglia vou falar do discriminante.

Sempre que se tiver a equação

e a condição + ≥ 0 a equação tem uma solução real dada pela fórmula.

vimos ainda que esta fórmula pode dar todas as soluções da equação desde que se considere

onde α é uma das raízes cúbicas da fórmula anterior interpretada como raiz complexa, e β determinado a partir de α pela fórmula

Recorrendo a estas fórmulas é relativamente fácil provar que

Se Δ = 4p³ + 27q² .

Δ < 0	Três zeros reais (distintos)
Δ = 0	Um zero real simples e um duplo. Se p = q = 0 A eq. só tem um zero que é triplo.
Δ > 0	Um zero real simples e dois complexos conjugados

Note-se que, por razões que espero que sejam óbvias, Δ tem o mesmo sinal que +

A dedução é simples, qualquer pessoa que tenha acompanhado estes posts e conheça e saiba utilizar as fórmulas de De Moivre deve conseguir fazê-la.
(É simples sim. Até eu fui capaz de o fazer!)

A fórmula de Tartaglia permite ainda resolver equações polinomiais do 3^o grau completas.

fazendo a substituição

temos:

Logo

é equivalente a

Que é uma equação que pode ser resolvida recorrendo à fórmula de Tartaglia.

Exemplo:

Faz-se

Ficamos com

Logo há 3 soluções reais. Poderá demonstrar sem dificuldade que:

Mas esta fórmula não será a mais desejável visto que obriga a trissectar um ângulo. Então, vou mostrar o que podemos tentar fazer:
Ao calcular α³ chegamos ao valor -28/27+i (5/3)√ 3 
 Mais uma vez, o truque passa por tentar completar um cubo

As duas formas deste desenvolvimento vão ser úteis.

Agora, nota-se que

e que já "sabemos"quanto é a² e b²

Assim, sabemos que

ou seja, ficámos a saber um dos α. Sabendo um, facilmente se determinam os outros dois e os correspondentes β.

Assim sendo

Portanto

e como se tinha
Então as soluções da equação original são:

Observação: É óbvio que este último exemplo seria facilmente resolúvel recorrendo apenas aos conhecimentos do actual ensino secundário, mas o objectivo aqui é mostrar uma técnica.

E assim concluo a série de posts relativos à fórmula de Tartaglia (ou Cardano-Tartaglia). Conheci a fórmula através de um livro de divulgação quando eu tinha 15 anos. O livro sugeria a demonstração, que incluí aqui na 1ª parte. Eu tinha aprendido a fórmula resolvente das equações do 2º grau pouco menos de um ano antes, e conseguir deduzir esta fórmula para mim , na altura, foi motivo de orgulho. Ainda não conhecia os números complexos que mais tarde me permitiram desenvolver as técnicas que puderam ver neste blog, e que não devem ter nada de original. O livro chamava-se "Número, a linguagem da ciência" e o autor é Tobias Dantzig.
Não tenho nenhuma cópia do livro.
Li-o através do serviço de bibliotecas itinerantes da Fundação Calouste Gulbenkian, a quem devo muitas das melhores leituras da minha adolescência.
Durante a licenciatura em Matemática, para meu choque, nunca vi esta fórmula em disciplina nenhuma, embora esteja historicamente associada aos números complexos ou ao desenvolvimento da Teoria de Galois.
De facto, com as técnicas da Análise Numérica, e mesmo o Teorema do Resto, e processos como a divisão de polinómios, muitas vezes todo este trabalho acaba por se tornar redundante ou pouco eficiente, mas faz-me admirar todos aqueles que entre os séculos XVI e XVIII dedicavam o seu tempo a estes problemas.
Espero que tenham gostado.

Até à próxima.

 Carlos Paulo.