terça-feira, 14 de maio de 2013

Equações polinomiais do 3º grau.
A Fórmula de Tartaglia
Parte 2: Dois exemplos.

Considere-se a equação.
x3 - 3x + 2 = 0
   √ ---  √ ---   √---
x = 3- 1+ 3 - 1 = 2 3- 1

Certo?
Bem... Se estivermos a pensar na raiz cúbica como função real de variável real, sim, está certo, visto que a raiz cúbica real está univocamente determinada, isto é cada número real tem uma e apenas uma raiz cúbica.
Mas se estivermos a pensar na raiz cúbica de variável complexa, o caso muda de figura.
A raíz cúbica, em não está univocamente determinada.
A fórmula de De Moivre dá-nos três valores distintos para √3---
  - 1 :
       π   1   √-
z1 = cis3 = 2 + i 3
z2 = cisπ =π- 11  √ -
z3 = cis- 3 = 2 - i 3

E então a soma x = √3---
  - 1 + 3√ ---
  - 1 pode designar a soma de quaisquer duas destas raízes. É fácil notar que nem 2z1 nem 2z3 nem z1 + z2 nem z2 + z3 são soluções da equação.
Então, como devemos proceder para determinar apenas soluções da equação?
Voltemos à dedução da fórmula (rever aqui).
Vímos que:
x = α + β
onde
αβ = - p
      3
e α é uma raíz cúbica de
     ∘ -2----3
- q +  q +  p-
 2     4    27
Tendo determinado α, β é também unívocamente determinado pela fórmula
β = --p-
     3α
Assim, no nosso caso as soluções xj serão:
        - 3       1
xj = zj - 3zj = zj + zj
x1 = cisπ-+ cis - π-= 2cos π-= 1
       3        3       3
        -1        -1-
x2 = z2 + z2 = - 1 + - 1 = - 2
         1        π     π
x3 = z3 +--= cis- --+ cis--= 1
         z3       3      3
Não pense que este será o único tipo de problemas a enfrentar quando usa a fórmula de Tartaglia.
Consideremos agora a equação
x3 - 2x - 4 = 0

Cuja solução real, dada pela fórmula é:
    ∘ ---------  ∘ ---------
     3   ∘ -100-   3   ∘ 100-  ∘3----10√--  3∘ ---10√---
x =   2 +   27-+   2-   -27 =   2+  9- 3 +   2- -9  3
Temos um problema "sério": É possível simplificar isto?
Uma forma de tentar fazê-lo é recordar que
(a± b)3 = a3 ±3a2b +3ab2 ± b3
e tentar manipular os dados por forma a obter um desenvolvimento destes. Neste caso...
                 (     )
    10√ -             1  √-
2 ± 9   3 =   2±  1 + 9   3
                      (    3 )√ -
          =   (1+ 1)±  1 + -3   3
                          (3  )
          =   13 ± √3 + 1+  3- √3-
                            33
                     √3      1   √33
          =   1± 3×  3--+ 3× 3 ± -33-
                     √-      √ -2  √ -3
          =   1± 3×  -3-+ 3× --3-± --3-
              (      3)       32    33
                   √3  3
          =    1 ± -3-
E portanto
       ∘---------  ∘ ---------
       3    ∘ 100-  3    ∘-100
x  =    2 +   ---+   2 -   ---
       ┌ -----27---- ┌ ----27-----
       ││ (    √3)3   ││ (    √3-)3
   =   3∘  1+  ---  + ∘3  1- ---
              3              3
          √3      √3
   =  1 + -3-+ 1- -3-
   =  2
Tendo esta solução, recorrendo a métodos de deflação, facilmente se obtêm as outras duas soluções, que são -1 ± i.
Será fácil obtê-las também recorrendo directamente à fórmula de Tartaglia?
(Sim, é! Pode tentar fazê-lo...e depois consultar a minha resolução aqui).
Note-se que a manipulação que nos levou a simplificar o resultado nem sempre é fácil, nem temos garantia de que tal simplificação seja efectuável ou que o resultado da soma 
x = α + β
seja inteiro ou racional...
(Continua num próximo post)

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