sábado, 11 de maio de 2013

Equações polinomiais do 3º grau:
A fórmula de Tartaglia



Hoje como mais um exemplo de aplicação do post anterior, vamos obter uma fórmula resolvente para as equações incompletas de 3o grau do tipo
x^3 + px + q = 0

Procuremos soluções do tipo x=α+β. 
Substituindo na equação temos:
α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 + p(α + β)+ q = 0

⇔  α3 + 3αβ(α + β)+ β3 + p(α +β )+ q = 0

⇔  α3 + β3 + q+ (3αβ + p)(α+ β ) = 0

Sendo α e β variáveis podemos impor algumas condições sobre elas por forma a que se possam exprimir apenas à custa de p e q
Assim, vou impor que:
 3   3
α + β  = - q ∧3αβ + p = 0

   3    3             p
⇔ α  + β = - q∧ αβ = -3

                          3
⇒  α3 + β3 = - q ∧α3β3 = - p
                         27

Note-se que o último par de equações mostra-nos uma fórmula para a soma e para os produtos dos cubos de α e β. 
Assim, podemos recorrer à ideia do post anterior e sabemos que α3 e ß3 são as soluções da equação:
2       p3
z + qz - 27 = 0

Aplicando a fórmula resolvente das equações polinomiais de 2o grau temos:
        ∘ ------3        ∘ -------
   - q±   q2 + 4p27    q     q2   p3
z =-------2------ = -2 ±   4 +  27-

Temos liberdade para escolher qual das soluções será α3 e qual será ß3
         ∘ -------           ∘ -------
α3 = - q+   q2 + p3;β3 = - q - q2 + p3
      2     4   27       2     4    27

E portanto:
    ∘ -----∘---------    ∘ -----∘---------
     3  q     q2  p3     3   q    q2   p3
α =   - 2 +   4 + 27;β =   - 2 -  4  + 27

de onde se tira o valor de x:
           ∘ -----∘--------- ∘ -----∘---------
           3   q    q2   p3   3  q     q2  p3
x = α+ β =   - 2 +  4  + 27 +  - 2 -   4 + 27

Ou seja, a equação
x3 + px + q = 0

Tem como uma das suas soluções

(continua num próximo post)

Correcções:
03/07/2013 - Foi feita uma pequena alteração na última frase do texto, numa tentativa de corrigir uma gralha identificada e reportada pelo professor Filipe Oliveira a quem agradeço a atenção.

Sem comentários:

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