Um exercício de geometria analítica (euclidiana).

Os posts dos passados Sábado e Domingo foram sobre o problema de Alhazen.
Hoje vou propor um mais simples e que deve ser mais facilmente resolúvel por vários leitores.

Um raio de luz é emitido do ponto P, é reflectido pelo espelho r e (o raio reflectido) passa pelo ponto S.

a) Supondo que o ponto P tem coordenadas (0,1), o ponto S tem coordenadas (-1,0) e o espelho pode ser descrito pela equação y=x 
Determine o ponto R onde o raio atinge o espelho.

b) Suponha agora que P=(-2,1), S=(7,2) e o espelho é a recta y=0.
Determine o ponto R onde o raio atinge o espelho.

c) Finalmente, suponha agora que P=(0,1), S=(8,5) e o espelho é a recta x+2y+2=0.
Determine o ponto R onde o raio atinge o espelho.

d) Consegue resolver o exercício genérico de determinar as coordenadas do ponto R quando P=(x_P,y_P); S=(x_S,y_S) e  o espelho é ax+by+c=0?

Sugestões:

• O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
  
  
  
  
  
• Se começar pela última alínea, fica com a tarefa mais fácil para as primeiras.

Observação: o "espelho" é tecnicamente chamado "plano de incidência"

Dentro de um período não inferior a um mês, e dependendo do número de visitas a este blog escrevo aqui as soluções e partilho um documento pdf com uma possível resolução.

(Este pode ser o primeiro passo na direcção de uma resolução do problema de Alhazen, e voltarei a esta versão mais simples do problema quando voltar a falar dele)

Assuma sempre que P e S estão do mesmo lado do espelho (se em algum dos exemplos não estão, o erro está no enunciado e peço imensas desculpas por isso.

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ACTUALIZAÇÃO
(8/5/2013 20h00m) Foi feita uma correcção no enunciado na alínea a): As coordenadas de S são (-1,0)