O problema de Alhazen

O problema de ontem, problema da reflexão de um objecto num espelho circular por forma a que a imagem reflectida passe noutro ponto, é conhecido por problema de Alhazen.

O problema pode ser enunciado de outras formas, e só requer que os pontos estejam ambos do mesmo lado do espelho, isto é, ou ambos dentro do círculo ou ambos fora.
(Outra forma natural de por este problema, é recorrendo a mesas de bilhar)

Com este nome, o leitor mais curioso pode procurar na Internet a história do problema.

Encontrei um artigo online onde o matemático Peter M. Neumann demonstra que em geral não existe uma construcção de régua e compasso que resolva o problema (Se não tem grandes conhecimentos de Álgebra moderna penso que deve se perder ao tentar ler o artigo).

Isto não significa que o problema não tenha solução! Aliás, em 1997 o próprio Peter M. Neumann apresentou uma solução algébrica para o problema, e mesmo o matemático árabe que tem o nome associado ao problema apresentou uma solução (geométrica) que recorre a cónicas, há cerca de um milénio!

Não sendo resolúvel com régua e compasso, é perfeitamente normal que muitas ideias tenham de ser deitadas fora.

Tal como sugeri ontem, a geometria analítica pode dar-nos uma forma de resolver o problema.

Um dia no futuro, deixo aqui uma blog-app onde o leitor escolhe os pontos e o computador mostra o, ou os pontos de reflexão, e nessa altura voltarei a falar do problema e de como é que o computador o resolve.

Tenho até lá para aprender a utilizar o HTML5 e JavaScript (ou bibliotecas gráficas JavaScript) para escrever essa app...

Até à próxima e bom resto de fim de semana.

Fontes:
Reflections on Reflection in a Spherical Mirror - jstor
Alhazen (wikipedia)
Alhazen's Problem (wikipedia)
http://mathworld.wolfram.com/AlhazensBilliardProblem.html